2000年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）

第I卷（选择题60分）

　　参考公式：
　　三角函数的积化和差公式　　　　　　　正棱台、圆台的侧面积公式
　　　　　
　　　　　 其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长
　　　　　
　　 　　 其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高

　　一、选择题：本大题共12分，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
　　（1）设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素，则在映射f下，象20的原象是（ ）
　　（A）2 　　　　　（B）3　　　　　 （C）4　　　　　　　 （D）5
　　（2）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是
　　（A）　　　　（B）　　　 （C）　　　　　（D）
　　（3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是
　　（A）　　　　（B）　　　　 （C）6　　　　　　　 （D）
　　（4）已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是
　　（A）若α、β是第一象限角，则cosα>cosβ
　　（B）若α、β是第二象限角，则tgα>tgβ
　　（C）若α、β是第三象限角，则cosα>cosβ
　　（D）若α、β是第四象限角，则tgα>tgβ
　　（５）函数y=-xcosx的部分图象是
　　　　　　
　　（６）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分希累进计算。

　　某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于
　　（A）800～900元　　（B）900～1200元　　（C）1200～1500元　　　（D）1500～2800元
　　（7）若a>b>1，，则
　　（A）R<P<Q　　　　 （B）P<Q<R　　　　　（C）Q<P<R　　　　　　 （D）P<R<Q
　　（8）以极坐标中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是
　　（A） 　　　　　　　（B）
　　（C） 　　　　 　　　（D）
　　（9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是
　　（A）　　　　　（B）　　　　　（C）　　　　（D）
　　（10）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是
　　（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　（D）
　　（11）过抛物线（a>0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于
　　（A）2a　　　　　（B）　　　　　（C）4a　　　　　（D）
　　（12）如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为
　　（A）　　　　（B）　　　（C）　　　　（D）

第II卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
　　（13）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、第三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种（用数字作答）
　　（14）椭圆的焦点为，点P为其上的动点。当为钝角时，点P横坐标的取值范围是__________________。
　　（15）设是首项为1的正项数列，且（n=1，2，3…），则它的通项公式是=_________。
　　（16）如图，E、F分别为正方体的面、面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是__________________。
　　　　　　
　　（要求：把可能的图的序号填上）
　　三、解答题：本大题共16小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
　　17（本小题满分12分）
　　已知函数
　　（I）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
　　（II）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
　　（18）（本小题满分12分）
　　如图，已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且
　　（I）证明：；
　　（II）假定CD=2，，记面为α，面CBD为β，求二面角α BD β的平面角的余弦值；
　　（III）当的值为多少时，能使？请给出证明。
　　（19）（本小题满分12分）
　　设函数，其中a>0。
　　（I）解不等式f(x)≤1；
　　（II）求a的取值范围，使函数f(x)在区间[0，+∞)上是单调函数。
　　（20）（本小题满分12分）
　　（I）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数p；
　　（II）设是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列。
　　（21）（本小题满分12分）
　　某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。
　　（I）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t)；
　　写出图二表求援 种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；
　　（II）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
　　　　　　　　
　　（注：市场售价和种植成本的单位：，时间单位：天）
　　（22）（本小题满分14分）
　　如图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点。当时，求双曲线离心率e的取值范围。

参考解答及评分标准

　　说明：
　　一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
　　二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
　　三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
　　四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

　　一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。
　　（1）C　　（2）B　　（3）D　　（4）D　　（5）D　　（6）C
　　（7）B　　（8）C　　（9）A　　（10）C　 （11）C　 （12）D

　　二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。
　　（13）252 　　（14）　　　（15）　　　（16）②③
　　三、解答题
　　（17）本小题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力。满分12分。
　　解：（I）
　　　　　　　 　　　…………6分
　　y取得最大值必须且只需
　　
　　即
　　所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………8分
　　（II）将函数y=sinx依次进行如下变换：
　　（i）把函数y=sinx的图象向左平移，得到函数的图象；
　　（ii）把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；
　　（iii）把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象；
　　（iv）把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数的图象；
　　综上得到函数的图象。　　　　　　　　　　　………………12分
　　（18）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分。
　　（I）证明：连结、AC，AC和BD交于O，连结
　　∵四边形ABCD是菱形
　　∴AC⊥BD，BC=CD
　　又
　　
　　
　　∵DO=OB
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………2分
　　但AC⊥BD，
　　
　　又
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………4分
　　（II）解：由（I）知AC⊥BD，
　　是二面角α BD β的平面角
　　在中，BC=2，，
　　　　　　　　　　　　　　　　　………………6分
　　∵∠OCB=60°
　　
　　
　　
　　作，垂足为H。
　　∴点H是OC的中点，且，
　　所以。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………8分
　　（III）当时，能使
　　证明一：
　　∵
　　
　　又
　　由此可推得
　　∴三棱锥是正三棱锥。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………10分
　　设相交于G.
　　
　　
　　又是正三角形的BD边上的高和中线,
　　∴点G是正三角形的中心。
　　
　　即。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………12分
　　证明二：
　　由（I知，
　　。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………10分
　　当时，平行六面体的六个面是全等的菱形。
　　同的证法可得
　　又
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………12分
　　（19）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分数计论的数学思想方法和运算、推理能力。满分12分。
　　解：（I）不等式f(x)≤1即
　　，
　　由此得1≤1+ax，即ax≥0，其中常数a>0
　　所以，原不等式等价于
　　
　　即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………3分
　　所以，当0<a<1时，所给不等式的解集为；
　　当a≥1时，所给不等式的解集为{x|x≥0}　　　　　　　　　　　　　　　………………6分
　　（II）在区间[0，+∞)上任取，使得
　　　　　　　　　　　　　　　　　………………8分
　　（i）当a≥1时
　　
　　
　　又
　　
　　即
　　所以，当a≥1时，函数f(x )在区间[0，+∞)上是单调递减函数。　　　　　………………10分
　　（ii）当0<a<1时，在区间[0，+∞)上存在两点，满足，即，所以函数f(x)在区间[0，+∞)上不是单调函数。
　　综上，当且仅当a≥1时，函数f(x )在区间[0，+∞)上是单调函数。　　　　………………12分
　　（20）本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，满分12分。
　　解：（I）因为是等比数列，故有
　　
　　将代入上式，得
　　　　　　　　　　　　　　……………………3分
　　即
　　整理得
　　解得p=2或p=3。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………6分
　　（II）设的公比分别是p=q，p≠q，
　　为证不是等比数列只需证。
　　事实上，，
　　
　　由于p≠q，，又不为零，
　　因此，故不是等比数列。　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………12分
　　（21）本小题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分。
　　解：（I）由图一可得市场售价与时间的函数关系为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………2分
　　由图二可得种植成本与时间的函数关系为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………4分
　　（II）设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得
　　h(t)=f(t)-g(t)
　　即　　　　　　　　　　　　　　　　……………………6分
　　当0≤t≤200时，配方整理得
　　
　　所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；
　　当200<t≤300时，配方整理得
　　
　　所以，当t=300时，h(t)取得区间[200，300]上的最大值87.5。　　　　　　……………………10分
　　综上，由100>87.5可知，h(t)在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………12分
　　（22）本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分。
　　解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴。
　　因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于x轴对称。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………2分
　　依题意，记A（-c，0），，其中为双曲线的半焦距，h是梯形的高。
　　由定比分点坐标公式得
　　
　　。
　　设双曲线的方程为，则离心率。
　　由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得
　　　　　　　　　　　 ①
　　 　　 ②　　　　　　　　　　　　　　　　……………………7分
　　由①式得 ③
　　将③式代入②式，整理得
　　
　　故。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………10分
　　由题设得，
　　解得
　　所以双曲线的离心率的取值范围为。　　　　　　　　　　　……………………14分